日記

確率分布の期待値と分散を計算する②（ガンマ分布）

上の続き。

目的

確率母関数や積率母関数から、確率分布の期待値と分散を計算するという趣旨。

今回は、ガンマ分布。

ガンマ分布

正の実数 $a$ に対して、ガンマ関数は、以下で定義される。

$Γ(a)=\int_0^\infty x^{a-1}e^{-x} dx$

ちなみに、 $Γ(1)=\int_0^\infty x^0e^{-x} dx=\int_0^\infty e^{-x} dx=1$

$Ga(ν,α)$ の確率密度関数は、

$f(x)=\dfrac 1{α^νΓ(ν)} x^{ν-1}e^{-x/α}, x>0$

積率母関数は、

$φ(θ)=\int_0^\infty e^{θx}\dfrac 1{α^νΓ(ν)} x^{ν-1}e^{-x/α} dx$

$=\int_0^\infty \dfrac 1{α^νΓ(ν)} x^{ν-1}\exp(\dfrac {-x}α+θx) dx$

$=\int_0^\infty \dfrac 1{α^νΓ(ν)} x^{ν-1}\exp(\dfrac {-x}α(1-αθ)) dx$

$\dfrac xα(1-αθ) \rightarrow y$ と変数変換して、

$φ(θ)=\int_0^\infty \dfrac 1{α^νΓ(ν)} (\dfrac {yα}{1-αθ})^{ν-1}e^{-y} \dfrac α{1-αθ}dy$

$=(1-αθ)^{-ν} \int_0^\infty \dfrac 1{Γ(ν)} y^{ν-1}e^{-y}dy$

$=(1-αθ)^{-ν}$

1乗モーメントは、

$φ'(θ)=να(1-αθ)^{-ν-1}$

$\Rightarrow φ'(0)=να$

2乗モーメントは、

$φ''(θ)=ν(ν+1)α^2(1-αθ)^{-ν-2}$

$\Rightarrow φ''(0)=ν(ν+1)α^2$

以上より、期待値・分散は、

$E(X)=φ'(0)=να$

$Var(X)=φ''(0)-φ'(0)^2=ν(ν+1)α^2-ν^2α^2=να^2$

期待値は $να$ 、分散は $να^2$

感想

ただ計算していくだけでも、なんか達成感あるね。

超幾何分布とベータ分布についてもやりたかったんだけど、

調べても、「確率母関数（積率母関数）は複雑な形状をしており有用ではない」

しかなくて導出を諦めた。